Группа образовалась в 1994 году, когда трое музыкантов, жаждущих самовыражения, познакомились друг с другом. Коллектив изначально состоял из: вокалиста Романа Ягупова, ударника Анатолия Пугача и бас-гитариста Михая Хынку. 

Все трое в то время учились в школе небольшого городка со звучным названием Страшены, находящегося под Кишинёвом. К слову, Роман по совместительству стал не только главным вдохновителем коллектива, но ещё и гитаристом, а также автором большинства песен.

Так как участников в группе не хватало, ребята нашли соратников во время учёбы в городе Кишинёве, после чего их, наконец, заметил продюсер Игорь Дынга, в то время солист ещё одной подающей надежды молдавской группы Cuibul. Игорь предложил «Здобам» сыграть на разогреве, и ребята с радостью согласились. Благодаря невероятной харизматичости и бешеной энергетике музыкантов, слушатели приняли группу с восторгом, так что карьера Здоб ши Здуб пошла в гору.

Свой первый демо-альбом группа записала в профессиональной студии, работа называлась «Lost World» и была посвящена участию в московском фестивале, где группа впервые планировала выступить под названием Здоб ши Здуб и заявить о себе как о профессиональном коллективе. Благодаря фестивалю, о скромной молдавской рок-группе узнала столичная неформальная молодёжь и сразу же приняла талантливых парней. Группа тут же подружилась с несколькими московскими коллективами, в том числе IFK, которые затем успешно выступили в Кишинёве, в гостях у «Здобов».

В следующем году группа возвращается на родной фестиваль «Учитесь плавать», где выступает на разогреве у самих «Rage Against the Machine». После этого Здоб ши Здуб постепенно выходят на мировую арену. Пожалуй, самой известной композицией группы стала «Видели ночь», задорная и оптимистичная песня, которую молодёжь (и не только) любит исполнять под гитару на природе.

Одним из величайших достижений группы стали выступления на Евровидении, где они дважды представляли родную Молдову. В 2005 году Здобы представили вниманию европейцев типично молдавскую композицию, насыщенную не только этническими ритмами, но и родными для музыкантов гитарными рифами. Композиция называлась «Bunika Bate Doba» и, к слову, бабушка с барабанной действительно присутствовала на сцене! В итоге группа заняла 6 место, что для Молдовы стало ошеломительным успехом.